Determinación del término general de una sucesión.
En algunas ocasiones los términos de una sucesión se generan mediante alguna regla de recurrencia, que no identifica explícitamente el término n-ésimo de la sucesión. Para estos casos, puede ser necesario descubrir el patrón en la sucesión y describir el término n-ésimo matemáticamente.
Una vez que el término n-ésimo se ha expresado matemáticamente, se puede analizar la convergencia o divergencia de la sucesión.
Para determinar el término general (\(n\)-ésimo) de una sucesión se recomienda seguir los criterios siguientes.
1. Comprobar si es una progresión aritmética.
2. Comprobar si es una progresión geométrica.
3. Comprobar si los términos son cuadrados perfectos, potencias de un número o números próximos a cuadrados perfectos por exceso o defecto (por arriba o por abajo).
4. Si la sucesión es alternada (signos de los términos cambiantes) si los términos impares son negativos existe un factor \(-1^{n}\) si los términos impares son positivos existe un factor \(-1^{n+1}\).
5. Si los términos son fraccionarios comprobar si los numeradores o denominadores están en progresión, si no lo están se calcula el término general de los numeradores y los denominadores por separado para luego expresar el término generar como \(\left\{a_n\right\}=\ \frac{a_i}{a_j}\) donde \(a_i\) es el término general de los numeradores y \(a_j\) el de los denominadores.
6. Investigar si existe algún patrón matemático mediante ensayo y error o combinaciones de los criterios anteriores (depende de las habilidades matemáticas).
Ejemplo 1. Determinar el término general de la sucesión $$\{u_n\}=\frac{2}{3},\frac{4}{9},\frac{8}{27},\frac{16}{81},\frac{32}{243}, \ldots$$ Solución: note que tanto los numeradores \(a_i\) como los denominadores \(a_j\) están en progresión geométrica, de donde, \(a_i=2^n\) y \(a_j=3^n\), entonces, $$u_n=\frac{2^n}{3^n}=\left(\frac23\right)^n$$
Ejemplo 2. Hallar el término general de la sucesión \(a_n=4,~7,~12,~19,~28,~\ldots\)
1) Prueba de progresión aritmética.
\(7-4=3\) y \(12-7=5\) por tanto, no es P.A. directa (puede serlo más adelante).
2) Prueba de progresión geométrica.
\(12/7 \neq 7/4\) por tanto, no es P.G. directa (puede serlo más adelante).
3) Prueba de cuadrados perfectos, potencias de un número o números próximos a cuadrados perfectos por exceso o defecto (por arriba o por abajo).
Los cuadrados perfectos son \(1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ldots\) por tanto, no se tienen cuadrados perfectos directos.
6) Investigando si existe algún patrón.
Los pasos, cuatro y cinco no existen para esta sucesión, así que se ha pasado de manera directa al paso seis, note que para \(\left\{a_n\right\}=4,~7,~12,~17,~28~ \ldots\) se tiene:
\begin{array}i
a_1=4=1+3~~~~~~~~~&a_2=7=2^2+3~~~~~~~\\
a_3=12=3^2+3~~~~~~&a_4=19=4^2+3~~~~\\
a_5=28=5^2+3\ldots\end{array}
como todos los términos tienen la suma de \(n^2+3\) se concluye que \(a_n=n^2+3\)
Ejemplo 3. Determinar el termino general (\(n\)-ésimo) de la sucesión \(\left\{a_n\right\}=11,~18,~27,~38,~51,\ldots\)
Solución:
1) Prueba de progresión aritmética \(18-11\neq27-18\) por tanto, no es una P.A.
2) Prueba de progresión geométrica.
$$\frac{18}{11}\neq\frac{27}{18}\Longrightarrow no~ es~ una~ P.~ G.$$
3) Prueba de cuadrados perfectos, luego es claro que no son cuadrados perfectos
4) No aplica, la sucesión no es alternada.
5) No aplica, son números enteros.
6) Investigando patrones.
Para \(n=1\Longrightarrow\ a_1=11=\ 1^2+10\)
Para \(n=2\Longrightarrow\ a_2=18=\ 2^2+\ 14\)
Para \(n=3\Longrightarrow\ a_3=27=\ 3^2+17\)
Para \(n=4\Longrightarrow\ a_4=38\ =\ 6^2+12\)
Para \(n=5\Longrightarrow\ a_5=51=\ 5^2+26\)
No parece haber ninguna característica constante en ningún término, pero si observa cual cuadrado está más cerca de cada número, podrá notar que \(11=3^2+2\) \(18= 4^2+2\) \(27=5^2+2\); \(38=6^2+2\) y \(51=7^2+2\) y así sucesivamente.
Otra cosa que puede notar es:
\begin{align}
a_1=11=(1+2)^2+2\\
a_2=18=(2+2)^2+2\\
a_3=27=(3+2)^2+2\\
a_4=38=(4+2)^2+2\\
a_5=51=(5+2)^2+2\end{align}
De donde se concluye que \(a_n=(n+2)^2+2\)
Ejemplo 4. Determinar el termino \(n\)-ésimo de la sucesión cuyos primeros cincos términos son $$-\frac{3}{2},\frac{15}{3},-\frac{63}{7},\frac{255}{25},-\frac{1023}{121}\ldots$$
1) Prueba de progresión aritmética.
$$\frac{63}{7}-\frac{15}{5}\neq\frac{15}{5}-\frac{3}{2}$$
Por tanto no es P.A. directa.
2) Prueba de progresión geometría.
$$\frac{63}{7}\div\frac{15}{3}\neq\frac{15}{3}\div\frac{3}{2}$$
Por panto no es P.G. directa.
3) Como los términos son fraccionarios y no están en progresión se debe calcular:
$$\left\{a_n\right\}= \frac{a_i}{a_j}$$
Donde \(a_i\) es el término general de los denominadores y \(a_j\) el de los denominadores. Observe además que los signos son alternados, uno negativo, el otro positivo por lo cual se tiene un factor \(-1^n\).
Para hallar \(a_i\) observe los numeradores \(3,\ 15,\ 63,\ 255,\ 1023,~\ldots\) buscando algun patrón constante en todos. No están en progresión aritmética, ni están en progresión geométrica, tampoco son cuadrados perfectos, pero se pude probar si están cerca de algún cuadrado o de las potencias de algún número, obserque que
\(4^1=4~~~~~~4^2=16~~~~~~4^3=64~~~~~~4^4=256~~~~~~4^5=1024\) estos números están cerca de \(3, 15, 63, 255, 1023,\) solo es necesario restarle uno a cada potencia de cuatro para que sean los numeradores de la progresión, con lo cual se tiene \(a_i=(-1^n)4^n-1\).
Para determinanr \(a_j\) se busca algún patrón en los denominadores \(2, 3, 7, 25, 125.\)
\(Para~~ n=1\ \ \ a_{j\ }=2=1\cdot1+1\)
\(Para~~ n=2\ \ \ a_{j\ }=3=2\ \cdot\ 1+1\)
\(Para~~ n=3\ \ \ a_{j\ }=7=3\ \cdot\ 2+1\)
\(Para~~ n=4\ \ a_{j\ }=25=4\ \cdot\ 3\ \cdot2+1\)
\(para~~ n=5\ \ a_{j\ }=125=5\ \cdot\ 4\ \cdot3\ \cdot2 \cdot 1+1\)
De lo anterior se afirma que \(a_j=n!+1\) así que el término general es:
$$\left\{a_n\right\}=\ \frac{a_i}{a_j}=\frac{{-1}^n{(4}^n-1)}{n!+1}$$
Como puede notar, no es tan fácil determinar términos generales en una sucesión.
Ejemplo (derechos reservados). Determinar el término general de la sucesión \(\{a_n\}=13,~18,~25,~34,~45,~\ldots\)
Solución:
1) Prueba de progresión aritmética \(18-13\neq25-18\) por tanto, no es una P.A. directa.
2) Prueba de progresión geométrica.
$$\frac{18}{13}\neq\frac{25}{18}\Longrightarrow no~ es~ una~ P.~ G.$$
3) Prueba de cuadrados perfectos. No lo son
4) No aplica, la sucesión no es alternada.
5) No aplica, son números enteros.
6) Investigando patrones.
Obseve que para \(a_2-a_1=5 \Longrightarrow d=2n+1\).
Para \(a_3-a_2=7 \Longrightarrow d=2n+1\).
Para \(a_4-a_3=9 \Longrightarrow d=2n+1\).
Para \(a_5-a_4=11 \Longrightarrow d=2n+1\).
Por tanto se tiene una distancia constante y por tanto, debe ser una progresión aritmética. Escribiendo el término general se tiene:
$$a_n=a_1+(n-1)d\Longrightarrow a_n=13+(n-1)(2n+1)$$
$$a_n=13+2n^2+n-2n-1\Longrightarrow a_n=2n^2-n+12$$
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Sucesiones acotadas.
Se dice acotada que una sucesión es acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número \(x\) menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro y mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre \(x\) y \(y\Longrightarrow x\le\ a_n\le y\)
Sucesiones acotadas inferiormente.
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número \(K\), llamado cota inferior de la sucesión \(a_n\geq k.\) A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo. Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión. La demostración se hará más adelante al analizar los límites de una sucesión.
Sucesiones acotadas superiormente. Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número \(K,\) llamada cota superior de la sucesión \(a_n=k'.\) A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo. Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente y su límite es igual al supremo de la sucesión (esta demostración se hará más adelante al analizar el límite de una sucesión).
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Sucesiones convergentes y divergentes.
Se dice que una sucesión es convergente si sus términos tienden a valores límites. Si no, será divergente.
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito (el límite existe).
Ejemplo: Dada la sucesion cuyo término general es, $$\left\{a_n\right\}=\ \frac{1}{2^n}$$ se pude ver que ésta sucesión tiende a cero ya que al darle valor a \(n\) se tiene \left\{a_n\right\}=\frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{16},\ \frac{1}{32},\ldots\frac{1}{2^n}\ y como se pude ver a medida que crece el denominador el límite de la sucesión tiende a cero, luego como el límite existe entonce la sucesión es convergente.
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